3Blue1Brown 线性代数笔记
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3Blue1Brown 线性代数笔记（几何直觉）
本文基于 3Blue1Brown 的线性代数视频系列整理，目标不是推导公式，而是通过“空间与几何直觉”来理解线性代数的核心概念。
0. 线性代数研究的核心问题
线性代数研究的问题可以概括为：
在一个空间中，向量如何叠加？
空间如何在“线性变换”作用下发生拉伸、旋转、压缩与翻转？
核心研究对象只有三类：
- 向量（Vector）
- 线性变换（Linear Transformation）
- 矩阵（Matrix）：线性变换在某一组坐标基下的表示
本质上，线性代数并不是“在算矩阵”，而是在研究：
空间的结构，以及空间在变换下如何被重新塑形。
1. 向量的本质
1.1 物理视角
向量是空间中的一个“箭头”，由两个属性唯一确定：
- 长度（大小）
- 方向
在几何中，只要长度和方向相同，即使位置不同，本质上仍然是同一个向量。
1.2 计算机视角
在计算机中，向量通常表示为一个有序数列：
\[(x_1, x_2, \dots, x_n)\]顺序不可改变，因为每一维通常对应不同的物理或逻辑意义。
1.3 数学视角（抽象向量）
从更抽象的角度看：
只要某一类对象满足以下两种运算：
- 向量加法
- 数乘（标量乘法）
并且满足：
可加性：
\(u + v = v + u\)线性叠加性：
\(T(u+v) = T(u) + T(v)\)齐次性：
\(T(cu) = cT(u)\)
那么，这类对象就可以被看作“向量”。
因此，函数、多项式、信号、随机变量等，在数学上都可以作为向量来研究。
2. 向量加法与数乘的几何意义
2.1 向量加法
设有两个向量：
\[u = (x_1, y_1), \quad v = (x_2, y_2)\]它们的加法定义为：
\[u + v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\]几何意义是：
先沿 \(u\) 的方向移动，再沿 \(v\) 的方向移动，最终从原点直达终点。
2.2 数乘
设 \(c\) 是一个标量，则：
\[cu = (cx, cy)\]几何意义是：
- \(c > 1\)：拉伸
- \(c < 1\)：压缩
- \(c < 0\)：方向翻转
3. 线性组合、张成空间与基
3.1 线性组合
给定向量 \(v_1, v_2, \dots, v_k\)，任意形如：
\[a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_kv_k\]的表达式，称为这些向量的一个线性组合。
3.2 张成空间（Span）
所有线性组合构成的集合，称为这些向量张成的空间。
几何含义：
- 两个不共线的向量在二维中张成整个平面
- 共线向量只能张成一条直线
- 一个非零向量只能张成过原点的一条直线
3.3 线性相关与线性无关
如果在一组向量中，存在某一个向量可以由其它向量线性组合得到，则这组向量线性相关。
如果每一个向量都不能由其它向量线性组合得到，则线性无关。
3.4 基（Basis）
基是满足以下两个条件的向量集合：
- 线性无关
- 能张成整个空间
二维标准基为：
\[\mathbf{i} = (1,0), \quad \mathbf{j} = (0,1)\]任意二维向量：
\[(x,y) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}\]4. 线性变换与矩阵
4.1 线性变换的定义
一个变换 \(T\) 是线性的，当且仅当满足：
\[T(u+v) = T(u) + T(v)\] \[T(cu) = cT(u)\]并且原点保持不变。
4.2 矩阵的几何本质
设二维矩阵：
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]它表示：
\[A\mathbf{i} = (a,c), \quad A\mathbf{j} = (b,d)\]对任意向量：
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = xA\mathbf{i} + yA\mathbf{j}\]矩阵的列向量就是变换后的基向量。
5. 矩阵乘法与变换复合
\[(AB)v = A(Bv)\]含义是：右边的变换先作用，左边的后作用。
因此：
- 矩阵乘法满足结合律
- 一般不满足交换律
6. 行列式的几何意义
在二维中：
\[\det(A)\]表示单位正方形在变换 $A$ 作用下，面积的缩放比例。
- \(\det(A) > 0\)：保持方向
- \(\det(A) < 0\)：发生翻转
- \(\det(A) = 0\)：空间被压缩到更低维
在三维中，行列式表示体积缩放比例。
乘积法则：
\[\det(M_1M_2) = \det(M_1)\det(M_2)\]7. 线性方程组、逆矩阵与零空间
求解：
\[Ax = v\]等价于：寻找一个向量 \(x\)，使得线性变换 \(A\) 把它变成 \(v\)。
- 若 \(\det(A) \neq 0\)，则存在唯一解，且有逆矩阵：
- 若 \(\det(A) = 0\)，则空间发生降维：
- 部分 \(v\) 无解
- 部分 \(v\) 有无穷多解
零空间定义为：
\[\{x \mid Ax = 0\}\]8. 列空间与秩
- 列空间是所有 \(Av\) 的集合
- 秩（Rank）是列空间的维度
性质：
- 满秩表示不降维
- 非满秩表示发生降维
9. 点积与对偶性
点积定义：
\[u \cdot v = \|u\|\|v\|\cos\theta\]几何意义：投影关系。
任意从空间到数轴的线性变换，都等价于与某个向量的点积：
\[f(v) = w \cdot v\]10. 叉积
三维空间中：
\[u \times v\]是一个垂直于 \(u,v\) 的向量，其长度等于平行四边形面积。
反对称性：
\[u \times v = - v \times u\]二维中叉积的“大小”等于行列式。
11. 基变换与相似变换
\[A^{-1}MA\]表示同一个变换在不同坐标系下的描述。
12. 特征值与特征向量
定义：
\[Av = \lambda v\]其中 \(v\) 是特征向量，\(\lambda\) 是特征值。
特征值由方程确定：
\[\det(A - \lambda I) = 0\]若特征向量能张满空间，则矩阵可对角化，便于计算幂次与动力系统。
附录：线性代数核心名词与概念定义表（Glossary）
- 向量（Vector）：带有大小和方向的数学对象，或满足加法与数乘的抽象对象。
- 线性变换（Linear Transformation）：保持加法与数乘结构的空间映射。
- 矩阵（Matrix）：线性变换在某组基下的坐标表示。
- 线性组合（Linear Combination）：向量按标量加权后相加。
- 张成空间（Span）：所有线性组合构成的集合。
- 线性无关（Linear Independence）：任一向量都不能由其它向量线性组合得到。
- 基（Basis）：线性无关且张成整个空间的向量集合。
- 行列式（Determinant）：线性变换对面积或体积的缩放比例。
- 列空间（Column Space）：矩阵所有可能输出构成的空间。
- 秩（Rank）：列空间的维度。
- 零空间（Null Space）：被变换压缩到原点的所有向量集合。
- 点积（Dot Product）：两个向量的投影度量。
- 叉积（Cross Product）：三维中产生垂直向量的运算。
- 特征向量（Eigenvector）：变换后方向不变的向量。
- 特征值（Eigenvalue）：对应特征向量的缩放比例。
- 相似变换（Similarity Transform）：不同坐标系下对同一变换的表示方式。